无限集，基数，无穷基数

无限集

我反对使用无穷量级作为完成的东西，这在数学中是不允许的。无限只是一种说法——高斯，1831年

到目前为止，我们遇到的所有集合的元素都是无限的，这意味着它们会无限延伸。然而，我们也证明了它们的“大小”是不一样的，或者至少，它不能与自然数一一对应。也许更矛盾的是，我们已经看到无穷集（自然数）的无穷子集（例如偶数）可以变成一对一的对应关系，这就产生了无穷集的一个特殊性质，即：

集合A是无限的，当且仅当，A和集合X之间存在一一对应并且X是A的一个真子集

这个由戴德金创造的特性，看起来似乎是自相矛盾的，因为直觉上认为一个整体的元素总比它的某些部分的元素多。这意味着，如果两个无限集包含相同数量的元素，那么：

它们之间一一对应；

任何整体的大小必须大于它的任何部分的大小；

那么，一个无限集合中的元素的数量就不能被认为是它大小的度量。它表明无限集合的元素在某种意义上“数不胜数”，考虑到你永远不可能把它们全部数出来，也因为在这个领域用数字来衡量大小的概念没有什么意义，如果一一对应表示集合的大小是相同的，那么所有的无穷集似乎都是相同的。

基数

那么我们该如何研究无穷集的性质和差异呢？1874年，康托尔发现了不可数无限集的存在性。1878年，康托尔开始了一项更广泛的研究，他称之为基数，即集合的大小。集合A的基数通常用|A|表示，有时用card(A)表示。

康托尔对基数的定义我们可以称之为“幂”"或"基数"，因为我们的思维能力，从集合M中抽象出各种元素的性质和它们所被赋予的次序，便产生了一般的概念。

或者更简单地说，基数是用于度量集合大小的自然数的泛化。利用基数性，康托尔能够正式回答他反复问戴德金的问题，即一个正方形是否可以映射到一条直线上，每条直线上的点是一一对应的，即：定理：所有实数有序对（即实平面）集合的大小与相同。这个定理出现于康托1878年的论文《A contribution to manifold theory》，并且可以用以下方式优雅地证明：

证明所有点（x，y）（0 < x，y < 1）的集合可以双射映射到(0,1]上。考虑点（x，y）并将x,y写成其唯一的十进制数形式，示例如下：

请注意，x和y的数字被分成了组，总是指向下一个非零数字。现在我们把数字z∈（0,1）与（x，y）联系起来，写下第一个x群组，然后是第一个y群组，然后是第二个x群组，以此类推。因此，在我们的例子中，我们得到：

由于x和y从某一点开始都不为零，我们发现z的表达式仍然是一个不终止的小数展开。从z的展开，我们可以立即读出原像(x,y)，并且映射是双射的。

所以，再次矛盾的是，二维平面确实可以双向（一对一对应）映射到一维直线上。归纳地说，我们可以把结果扩展到更高的维度。它违反直觉的本质导致康托著名地宣布：我证明了它，但我仍然无法相信。

无限的基数

当康托在1878年转而研究无穷基数时，他已经意识到存在着两种这样的“幂”，点集（如自然数）和连续体（如实数）。在他1883年的论文中，他介绍了两个无穷之间的区别，超限的和绝对的：

超限数是指“无限”的数，因为它们比所有有限数都大，但不一定是绝对无限的。

同样由康托提出的绝对无限ω，可以认为是一个比任何可以想象或不可想象的有限或超限的量都大的数。超限的数在量上是可增加的，而绝对是不可增加的。他所想到的特殊的超限数，是他通过研究某些无穷集的可数性（如自然数）和其他无穷集的不可数性(如实数)而意识到的。他分别把它们的基数和标记为前两个“无穷大数列”，都小于绝对无穷大ω。

连续统假说在自然数和实数的基数之间没有无限的基数。

如果不讨论连续统假说，康托二的介绍就不可能是完整的。这个假说与他的毕生著作康托连续体假说永远联系在一起。他关于这个猜想的大部分工作发表在1879年至1884年的《数学年鉴》杂志上。

然而，它的第一次出现是在1878年的一篇论文中，他在文中写道：问题来了，一条连续直线的不同部分，也就是可以在其中构想出的不同无限流形点，是如何与它们的幂有关的。抛开这个问题的几何表象，用一个实数的线性流形来理解无穷多个不同实数所能想到的所有集合。如果将具有相同幂的流形放入相同的类中，而将具有不同幂的流形放入不同的类中，那么线性流形将分为多少类？通过一个归纳过程，该定理表明，由这个排序原则产生的线性流形的类数是有限的，而且确实等于2。

康托尔和他的六篇论文。

我们知道基数0，1，2…无穷基数，并且进一步证明实数的基数大于。康托关于连续统假说的论述是，实数的基数是继之后的下一个超限数

这意味着没有集合的基数大于自然数，且小于c，c是实数的基数。在这个意义上超越了除了它本身以外的任何可数基数集合，只有通过，才能将其他基本数字相加得出。

试图证明

康托尔在他生命中剩下的许多年里都在努力证明连续统假说是正确的。他的直接策略是使用点集P的派生集P来测量它的基数。正如伯特兰·罗素所言：

一般来说，一阶导数由所有的点组成，这些点的邻域内堆积着无穷个集合项，而随后的导数，在任何邻域都能得到不同程度的集中。因此，很容易看出为什么导数与连续性相关，为了保持连续，集合必须尽可能地集中在包含集合的任何部分的每个邻域中。

因为求导过程不一定在可数的无限次迭代后终止，康托继续这个过程到超限。当这种策略失败后，康托转向了他所谓的“间接策略”，这是1883年出版的《总量通论基础》的主要主题。策略是基于他的幂理论的基数，即引入一个类的超限数据可用于计算任意无限集的大小。在这个系统中，连续统假说将通过确定连续统的幂在超限数的“尺度”上的位置来证明，它是第一个不可数的超限数。

康托花了许多年的时间试图解决连续统假说。有一天他以为自己找到了证明其正确性的证据，第二天他又找到了证明其谬误的证据，第二天又找到了证明其正确性的证据，后来才发现他所有的证据都是无效的。